题目内容

（2012•自贡一模）已知函数f（x）=2ln3x+8x，则
lim
n→∞
f(1-2△x)-f(1)
△x
的值为（　　）
分析：先求出函数f（x）的导数，
lim
△x→0
f(1-2△x)-f(1)
△x
的值是-2f′（1），由此能求出其结果．
解答：解：∵f′(x)=
6
3x
+8，
∴
lim
△x→0
f(1-2△x)-f(1)
△x

=-2
lim
-2△x→0
f(1-2△x)-f(1)
-2△x

=-2f′（1）
=-2×(
6
3
+8)=-20．
故选C．
点评：本题考查极限的运算，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
练习册系列答案
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（2012•自贡一模）已知
a
+
b
+
c
=
0
，且
a
与
c
的夹角为60°，|
b
|=
3
|
a
|，则cos＜
a
，
b
＞等于（　　）
（2012•自贡一模）已知函数f（x）=
2x     ，x≥0
x(x+1)，x＜0
，则f（-2）等于（　　）
（2012•自贡一模）f（x）是以4为周期的奇函数，f(
1
2
)=1且sinα=
1
4
，则f（4cos2α）=
-1
-1
．
（2012•自贡一模）要研究可导函数f（x）=（1+x）n（n∈N*）在某点x0处的瞬时变化率，有两种方案可供选择：①直接求导，得到f′（x），再把横坐标x0代入导函数f′（x）的表达式；②先把f（x）=（1+x）n按二项式展开，逐个求导，再把横坐标x0代入导函数f′（x）的表达式．综合①②，可得到某些恒等式．利用上述思想方法，可得恒等式：Cn1+2Cn2+3Cn3+…nCnn=
n•2n-1
n•2n-1
 n∈N*．
（2012•自贡一模）已知函数f（x）的定义域为[0，1]，且同时满足：①对于任意x∈[0，1]，总有f（x）≥3；②f（1）=4；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）-3．
（I）求f（0）的值；
（II）求函数f（x）的最大值；
（III）设数列{an}的前n项和为Sn，满足a1=1，Sn=-
1
2
(an-3)，n∈N*，求证：f(a1)+f(a2)+…+f(an)＜
3
2
log3
27
a
2
n
．

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