题目内容

如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1，∠BAC=90°，D为棱BB1的中点.

(1)求异面直线C1D与A1C所成的角;

(2)求证:平面A1DC⊥平面ADC.

解法一：（1）解析：建立如图所示的平面直角坐标系.

设AB=a,

则A1（0，0，2a），C（0，a，0），?C1（0，a，2a），D（a，0，a），

于是=（a,-a,-a）,=(0,a,-2a).

∵cos〈，〉=，

∴异面直线C1D与A1C所成的角为arccos.

（2）证明：∵=（a,0,-a）,=(a,0,a),=(0,a,0),

∴·=a2+0-a2=0, ·=0.

则⊥，⊥.

∴A1D⊥平面ADC.又A1D平面A1DC，

∴平面A1DC⊥平面ADC.

解法二：（1）解析：连结AC1交A1C于点E，取AD中点F，连结EF，则EF∥C1D.

∴直线EF与A1C所成的角就是异面直线C1D与A1C所成的角.

设AB=a，则C1D=a，

A1C=a，

AD=a.

△CEF中,CE=A1C=a,EF=C1D=a.

直三棱柱中，∠BAC=90°，则AD⊥AC.

CF=a.

∵cosCEF=.

∴异面直线C1D与A1C所成的角为arccos.

（2）证明：直三棱柱中，∠BAC=90°，

∴AC⊥平面ABB1A1，则AC⊥A1D.

又AD=a,A1D=a,AA1=2a,

则AD2+A1D2=AA12，于是AD⊥A1D.

∴A1D⊥平面ADC.又A1D平面A1DC，∴平面A1DC⊥平面ADC.


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2
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AF
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．
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