Question

已知（x²+1）ⁿ展开式中的各项系数之和等于（

16

5

x2+

1

x

）⁵展开式的常数项．求（x²+1）ⁿ展开式中二项式系数最大项．

Answer 1

分析：由题意可得（x²+1）ⁿ展开式中的各项系数之和为2ⁿ，（

16

5

x2+

1

x

）⁵展开式的常数项为16，可得n值，进而可得（x²+1）ⁿ=（x²+1）⁴，由二项式系数的特点易得答案．

解答：解：把x=1代入可得（x²+1）ⁿ展开式中的各项系数之和为2ⁿ，
而（

16

5

x2+

1

x

）⁵展开式的通项为T_k+1=

C

k 5

(

16

5

x2)5-k(

1

x

)k=

C

k 5

(

16

5

)5-kx10-

5k

2

，
令10-

5k

2

=0，可得k=4，故常数项为T₅=16，
由题意可得2ⁿ=16，故n=4，
故（x²+1）ⁿ=（x²+1）⁴，展开式共5项，
故二项式系数最大项为第3项，为

C

3 4

(x2)2•12=4x⁴

点评：本题考查二项式定理的应用，涉及二项展开式的通项和二项式系数，属中档题．