Question

设命题p：?x₀∈R，ax₀-x₀+1=0成立；命题q：?x∈（0，+∞），x²-ax+1＞0成立，如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求a的取值范围．

Answer 1

分析：根据题意，首先求出p、q为真时，a的取值范围，进而分析可得，如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，则p、q两个一真一假，分p真q假与p假q真两种情况讨论，综合可得答案．

解答：解：对于命题p：?x0∈R，a

x

2 0

-x0+1=0成立，
若P为真，则①当a=0，-x₀+1=0，x₀=1符合题意，
②当a≠0，?x0∈R，a

x

2 0

-x0+1=0?a

x

2

-x +1=0在R有解?△=1-4a≥0，
得到a≤

1

4

，a≠0
所以，命题p为真，有a≤

1

4

对于命题q：?x∈（0，+∞），x²-ax+1＞0成立??x∈(0，+∞)，a＜x+

1

x

成立x∈(0，+∞)，x+

1

x

≥2，x=1取等号
对于命题q为真，有a＜2，
如果p或q为真，p且q为假，则p、q两个一真一假，
若p真q假，则有a≤

1

4

且a≥2，得到a∈?，
若p假q真，则有a＞

1

4

且a＜2，得到

1

4

＜a＜2；
故a的取值范围是

1

4

＜a＜2．

点评：本题考查复合命题的真假的判断，解题的关键在于正确求出p、q为真的a的取值范围．