题目内容

如图在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，棱AB，BC，BB₁两两垂直且长度相等，点P在线段A₁C₁上运动，异面直线BP与B₁C所成的角为θ，则θ的取值范围是

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

C
分析：建立空间直角坐标系，设棱长为1，设P（-a，1-a，1）（0＜a≤1），则 $\text{[math]}$ =（-a，1-a，1）， $\text{[math]}$ =（0，1，-1），利用向量的夹角公式，即可求得结论．
解答：建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，

则B（0，0，0），C（0，1，0），B₁（0，0，1）
设P（-a，1-a，1）（0＜a≤1），则 $\text{[math]}$ =（-a，1-a，1）， $\text{[math]}$ =（0，1，-1）
∴cosθ=| $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴θ的取值范围是 $\text{[math]}$ ．
故选C．
点评：本题考查线线角，考查利用向量知识解决空间角问题，属于中档题．

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（1）求证：BC∥平面MNB₁；
（2）当AC=AA₁时，求证：平面MNB₁⊥平面A1CB．

如图在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中∠ACB=90°，AA₁=2，AC=BC=1，则异面直线A₁B与AC所成角的余弦值是

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①求证：B₁C₁∥平面EFG；
②求FG与AC₁所成的角；
③求三棱锥B₁--EFG的体积．