Question

一个口袋内装有大小相同的红球和黑球共12个，已知从袋中任取2个球，得到2个都是黑球的概率为

1

22

．
（1）求这个口袋中原装有红球和黑球各几个；
（2）从原袋中任取3个球，求取出的3个球中恰有1个黑球的概率及至少有1个黑球的概率．

Answer 1

分析：（1）设袋中装有x个黑球，12-x个红球，由题意，由等可能事件的概率可得

C 2 x

C 2 12

=

1

22

，解可得x的值，即可得答案；
（2）由组合数公式可得从原袋中任取3个球以及取出3个球中恰有一个黑球的情况数目，由等可能事件的概率公式计算可得答案，由组合数公式取出3个球都是红球的情况数目，即可得其概率，进而由对立事件的概率性质计算可得答案．

解答：解：（1）设袋中装有x个黑球，12-x个红球，
则从中任取2个球，有C₁₂²种情况，而取出的全是黑球有C_x²种情况，
由题意，可得

C 2 x

C 2 12

=

1

22

，解可得，x=3，
∴原袋中装有3个黑球，9个红球．
（2）从原袋中任取3个球，有C₁₂³种情况，
取出3个球中恰有一个黑球即2红1黑的情况有C₉²×C₃¹种，则其概率P₁=

C 2 9 C 1 3

C 3 12

=

27

55

，
取出3个球都是红球的情况有C₉³种，则其概率P₂=

C 3 9

C 3 12

=

21

55

，
所以至少有1个黑球的概率P=1-P₂=

34

55

．

点评：本题考查等可能事件的概率计算，关键要熟练运用组合数公式，结合分步计数原理求出事件包含的情况数目．