Question

（本题满分16分）已知函数

（1）求函数的单调区间；      

（2）设求函数在上的最小值；

（3）某同学发现：总存在正实数、，使，试问：他的判断是否正确?若不正确，请说明理由；若正确，请直接写出的取值范围（不需要解答过程）．

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

解：（1）定义域为，，令，则，

当变化时，，的变化情况如下表：

	+
	↗		↘

∴的单调增区间为；单调减区间为.                    ………………4分

（2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减，所以，

当时，即时，在上单调递增，∴

当时， 在上单调递减，∴        

当时，即时，在上单调递增，在上单调递减，

∴下面比较的大小，        ………………8分

∵ 

∴若，则此时     

若，则此时    ………………10分

综上得：

当时，；

当时，，                          ………………12分

（3）正确 ，的取值范围是                           ………………16分                        

注：理由如下，考虑几何意义，即斜率，当时， 

或者由极限得

又∵在上单调递增，在上单调递减

∴的大致图象如右图所示

∴总存在正实数且，使得，即，即．