Question

已知函数f(x)=-2sin2x+2

3

sinxcosx+1．
（1）求f（x）的最小正周期及对称中心；
（2）若x∈[-

π

6

，

π

3

]，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

（1）f(x)=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)
∴f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π，
令sin(2x+

π

6

)=0，则x=

kπ

2

-

π

12

(k∈Z)，
∴f（x）的对称中心为(

kπ

2

-

π

12

，0)，(k∈Z)；
（2）∵x∈[-

π

6

，

π

3

]∴-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1
∴-1≤f（x）≤2
∴当x=-

π

6

时，f（x）的最小值为-1；
当x=

π

6

时，f（x）的最大值为2．