Question

（本小题满分12分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点，直线交椭圆于不同的两点.

（1）求椭圆的方程;

（2）求的取值范围；

（3）若直线不过点，求证：直线与轴围成一个等腰三角形.

 

Answer 1

【答案】

(1) （2）（3）见解析

【解析】

试题分析：(1)由已知椭圆焦点在轴上可设椭圆的方程为，（）

因为，所以，                                   ①

又因为过点，所以，                         ②

联立①②解得，故椭圆方程为.                         ……4分

 (2)将代入并整理得，

因为直线与椭圆有两个交点，

所以，解得.                         ……8分

（3）设直线的斜率分别为和，只要证明即可.

设，，

则.

所以

所以，所以直线与轴围成一个等腰三角形.                  ……12分

考点：本小题主要考查椭圆标准方程的求法，椭圆中基本量的计算和直线与椭圆的位置关系，考查学生综合运用知识解决问题的能力、推理论证能力和运算能力.

点评：纵观历年高考，椭圆是一个高频考点，题型有选择题和填空题，难度不大，但解答题是压轴题，难度较大，所以在学习中，同学们一方面要掌握好椭圆的标准方程和几何性质等基础知识，另外还要多归纳这些知识的使用方法和应用技巧，做到心中有数，从容应对.