Question

扇形AOB的周长为8cm．
（1）若这个扇形的面积为3cm²，求圆心角的大小；
（2）求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB．

Answer 1

分析：（1）根据周长和面积列出关于r和l的方程组，解方程组即可．
（2）根据周长和S=

1

2

lr=

1

4

l•2r以及均值不等式求出最大值，进而得出半径，即可求出弦长．

解答：解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α
（1）由题意知

2r+l=8 1 2 lr=3

解得：

r=3 l=2

或

r=1 l=6

∴α=

l

r

=

2

3

或6
（2）∵2r+l=8
∴S=

1

2

lr=

1

4

l•2r≤

1

4

(

l+2r

2

)2=

1

4

×(

8

2

)2=4
当且仅当2r=l，即α=

l

r

=2时，面积取得最大值4
∴r=2
∴弦长AB=2sin1×2=4sin1

点评：此题考查了扇形面积公式以及均值不等式的运用，属于中档题．