Question

（2012•临沂一模）函数f(x)=(

1

2

)|x-1|+2cosπx(-2≤x≤4)的所有零点之和等于（　　）

A．2

B．4

C．6

D．8

Answer 1

分析：构造函数g(x)=(

1

2

)|x-1|，h(x)=-2cosπx，确定函数f(x)=(

1

2

)|x-1|+2cosπx(-2≤x≤4)图象关于直线x=1对称，利用-2≤x≤4时，函数g(x)=(

1

2

)|x-1|，h(x)=-2cosπx图象的交点共有6个，即可得到函数f(x)=(

1

2

)|x-1|+2cosπx(-2≤x≤4)的所有零点之和．

解答：解：构造函数g(x)=(

1

2

)|x-1|，h(x)=-2cosπx
∵-2≤x≤4时，函数g(x)=(

1

2

)|x-1|，h(x)=-2cosπx图象都关于直线x=1对称
∴函数f(x)=(

1

2

)|x-1|+2cosπx(-2≤x≤4)图象关于直线x=1对称
∵-2≤x≤4时，函数g(x)=(

1

2

)|x-1|，h(x)=-2cosπx图象的交点共有6个
∴函数f(x)=(

1

2

)|x-1|+2cosπx(-2≤x≤4)的所有零点之和等于3×2=6
故选C．

点评：本题考查函数的零点，解题的关键是构造函数，确定函数图象的对称性及图象的交点的个数．