Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a_n+1=2S_n+1，数列{b_n}满足a₁=b₁，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=

bn

an

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）要求数列{a_n}，{b_n}的通项公式，先要根据已知条件判断，数列是否为等差（比）数列，由a₁=1，a_n+1=2S_n+1，不难得到数列{a_n}为等比数列，而由数列{b_n}满足a₁=b₁，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，n∈N^*，易得数列{b_n}是一个等差数列．求出对应的基本量，代入即可求出数列{a_n}，{b_n}的通项公式．
（2）由（1）中结论，我们易得cn=

bn

an

，即数列{c_n}的通项公式可以分解为一个等差数列和一个等比数列相乘的形式，则可以用错位相消法，求数列{c_n}的前n项和T_n．

解答：解：（Ⅰ）由a_n+1=2S_n+1可得a_n=2S_n-1+1（n≥2），
两式相减得a_n+1-a_n=2a_n，
a_n+1=3a_n（n≥2）．
又a₂=2S₁+1=3，
所以a₂=3a₁．
故{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列．
所以a_n=3^n-1．
由点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，所以b_n+1-b_n=2．
则数列{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列．
则b_n=1+（n-1）•2=2n-1
（Ⅱ）因为cn=

bn

an

=

2n-1

3n-1

，所以Tn=

1

30

+

3

31

+

5

32

++

2n-1

3n-1

．
则

1

3

Tn=

1

31

+

3

32

+

5

32

++

2n-3

3n-1

+

2n-1

3n

，
两式相减得：

2

3

Tn=1+

2

3

+

2

32

++

2

3n-1

-

2n-1

3n

．
所以Tn=3-

1

2•3n-2

-

2n-1

2•3n-1

=3-

n+1

3n-1

．

点评：解答特殊数列（等差数列与等比数列）的问题时，根据已知条件构造关于基本量的方程，解方程求出基本量，再根据定义确定数列的通项公式及前n项和公式，然后代入进行运算．