Question

16、如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，D为BC中点．
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ）求证：C₁A⊥B₁C．

Answer 1

分析：求证线面平行，就要寻求线线平行，通过连接A₁C得交点O，连接OD就找到了中位线，从而找到线线平行关系，问题得以解决．求证线线垂直，往往寻求线面垂直，只要证得C₁A⊥平面A₁B₁C即可．

解答：解：（Ⅰ）连接A₁C，设A₁C交AC₁于点O，连接OD．因为ACC₁A₁为正方形，所以O为A₁C中点，又D为BC中点，所以OD为△A₁BC的中位线，
所以A₁B∥OD．因为OD?平面ADC₁，A₁B?平面ADC₁，
所以A₁B∥平面ADC₁．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，C₁A⊥CA₁
因为侧面ABB₁A₁是正方形，所以AB⊥AA₁，
又∠BAC=90°，所以AB⊥AC，又AC∩AB=A
所以AB⊥平面ACC₁A₁．
又AB∥A₁B₁，所以A₁B₁⊥平面ACC₁A₁．
又因为C₁A?平面ACC₁A₁，
所以A₁B₁⊥C₁A．
所以C₁A⊥平面A₁B₁C．
又B₁C?平面A₁B₁C，
所以C₁A⊥B₁C．

点评：考查线面平行和线线垂直的判定．