Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形．PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，点E是PC的中点．
（Ⅰ）若N为线段PA上一点，且PN=NE，求AN的长；
（Ⅱ）求直线PA和BE所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得AC=2

2

，PC=2

3

，tan∠APC=

AC

PA

=

2

，故有cos∠APC=

3

3

．再根据直角三角形中的边角关系可得cos∠APC=

3 2

2-AN

=

3

3

，
由此求得AN的值．．
（Ⅱ）取AC和BD的交点O，可得∠BEO即为直线PA和BE所成的角．在直角三角形BEO中，求得tan∠BEO=

BO

EO

的值，可得∠BEO的值，即为所求．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得AC=2

2

，PC=

PA2+AC2

=2

3

，tan∠APC=

AC

PA

=

2 2

2

=

2

，
∴sin∠APC=

6

3

，cos∠APC=

3

3

．
再取PE的中点F，则由PN=NE可得NF⊥PC，PF=

PC

4

=

3

2

，故有 cos∠APC=

PF

PN

=

3 2

2-AN

=

3

3

．
解得 AN=

1

2

．
（Ⅱ）取AC和BD的交点O，则EO为△PAC的中位线，故有EO平行且等于

1

2

PA．
再由PA⊥平面ABCD，可得EO⊥平面ABCD平面，
故∠BEO即为直线PA和BE所成的角．
在直角三角形BEO中，tan∠BEO=

BO

EO

=

2

1

=

2

，
 故直线PA和BE所成的角为arctan

2

．

点评：本题主要考查直角三角形中的边角关系，求异面直线所成的角，体现了转化的数学思想，属于中档题．