Question

已知函数f(x)=log5

1+x

1-x

，
（1）求f（x）的定义域．
（2）证明f（x）为奇函数．
（3）判断f（x）的单调性并证明．
（4）解不等式f（x）＜f（1-x）

Answer 1

（1）∵

1+x

1-x

＞0，即-1＜x＜1∴f(x)=log5

1+x

1-x

的定义域为（-1，1）（3分）
（2）f(x)=log5

1+x

1-x

∵的定义域为（-1，1），在（-1，1）上任取一个自变量x
则f(-x)=log5

1-x

1+x

=-log5

1+x

1-x

=-f(x)
∴f（x）为奇函数．（6分）
（3）在区间（-1，1）上任取x₁，x₂∴-1＜x₁＜x₂＜1（17分）f(x1)-f(x2)=log5

1+x1

1-x1

-log5

1+x2

1-x2

=log5(

1+x1

1+x2

.

1-x2

1-x1

)（9分）
又0＜1+x₁＜1+x₂&，0＜1-x₂＜1-x₁
∴0＜

1+x1

1+x2

＜1&，0＜

1-x2

1-x1

＜1，即0＜

1+x1

1+x2

.

1-x2

1-x1

＜1（11分）
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x）为（-1，1）上的增函数（12分）
（4）∵f（x）为（-1，1）上的增函数∴-1＜x＜1-x＜1
解得0＜x＜

1

2

（14分）