Question

已知a∈R，函数f(x)=+lnx-1，g(x)=(lnx-1)e^x+x（其中e为自然对数的底数）．
(Ⅰ)求函数f(x)在区间(0，e]上的最小值；
(Ⅱ)是否存在实数x₀∈(0，e]，使曲线y=g(x)在点x=x₀处的切线与y轴垂直？若存在，求出x₀的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）∵，
∴，
令f′(x)=0，得x=a，
①若a≤0，则f′(x)＞0，f(x)在区间(0，e]上单调递增，此时函数 f（x）无最小值；
②若0＜a＜e，当x∈(0，a)时，f′(x)＜0，函数f(x)在区间(0，a) 上单调递减；
当x∈(a，e]时，f′(x)＞0，函数f（x）在区间(a，e]上单调递增，
所以当x=a时，函数f(x)取得最小值lna； 
③若a≥e，则f′(x)≤0，函数f(x)在区间（0，e]上单调递减，
所以当x=e时，函数f(x)取得最小值； 
综上可知，
当a≤0时，函数f(x)在区间(0，e]无最小值；
当0＜a＜e时，函数f(x)在区间（0，e]上的最小值为lna；
当a≥e时，函数f(x)在区间（0，e]上的最小值为。
(Ⅱ)∵，
∴，
由（Ⅰ）知，当a=1时，，
此时f(x)在区间（0，e]上的最小值为ln1=0，
即，
当，
∴，
曲线y=g(x)在点x=x₀处的切线与y轴垂直等价于方程g′（x）=0有实数解，
而g′(x₀)＞0，即方程g′(x₀)=0无实数解，
故不存在x₀∈(0，e]，使曲线y=g(x)在点x=x₀处的切线与y轴垂直。