题目内容

已知 $数学公式$ 展开式的二项式系数之和为256，展开式中含x项的系数为112．
（Ⅰ）求m、n的值；
（Ⅱ）求 $数学公式$ 展开式中含x²项的系数．

解：（Ⅰ）二项式系数之和为2ⁿ=256，可得n=8；…2分
设含x项为第r+1项，则T_r+1= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ m^r $\text{[math]}$ …3分
故 $\text{[math]}$ =1，即r=2，…4分
则 $\text{[math]}$ m²=112，解得m=±2…6分
∵m∈R+，
∴m=2…7分
（Ⅱ）∵ $\text{[math]}$ 展开式的通项为 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （其中r=0，1，2，…8；s=0，2，…6），…9分
令 $\text{[math]}$ ，则3r+2s=12…10分
∴ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ …12分
∴x²的系数为 $\text{[math]}$ （-1）⁶+ $\text{[math]}$ 2² $\text{[math]}$ （-1）³+ $\text{[math]}$ =-1119…14分
分析：（Ⅰ）由二项式系数之和为2ⁿ=256，可得n，再由二项展开式的通项公式结合含x项的系数为112可求的n的值；
（Ⅱ）由二项展开式的通项公式 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 可含求得x²项的系数．
点评：本题考查二项式定理的应用，着重考查二项展开式的通项公式的应用，注重转化与方程思想的运用，属于中档题．