题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一个焦点是F(-
3
，0)，且离心率e=
3
2

（1）求椭圆C方程；
（2）（8分）过点A（0，-2）且不与y轴垂直的直线l与椭圆C相交于不同的两点P，Q，若
OM
=
OP
+
OQ
所对应的M点恰好落在椭圆上，求直线l的方程．
分析：（1）设椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1，由题意得 c=
3
离心率e=
3
2
以及b2=a2-c2由此能求出所求椭圆的标准方程．
（2）首先设设P（x1，y1），Q（x2，y2），再由直线过过点A（0，-2），写出点斜式方程，然后联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理求出
x1+x2=
16k
1+4k2
，x1x2=
12
1+4k2
，进而根据
OM
=
OP
+
OQ
能够得出(
16k
1+4k2
)2+(
4
1+4k2
)2=4，从而求出k和直线方程．
解答：解：（1）由题图得c=
3
，将c=
3
代入
c
a
=
3
2
得a=2，
所以b2=a2-c2=22-(
3
)2=1；所以椭圆C的方程为
x2
4
+y2=1
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l的方程为y=kx-2，联立得
y=kx-2
x2
4
+y2=1
，
得（1+4k2）x2-16kx+12=0，因为x1+x2=
16k
1+4k2
，x1x2=
12
1+4k2

所以
OM
=
OP
+
OQ
=(x1，y1)+(x2，y2)=(x1+x2，y1+y2)=(
16k
1+4k2
，-
4
1+4k2
)
从而有(
16k
1+4k2
)2+(
4
1+4k2
)2=4，所以16k4-56k2-15=0，所以k=±
15
2

所以直线l的方程为y=±
15
2
x-2
点评：本题考查了椭圆的标准方程以及直线与圆锥曲线问题，（1）问一般采取待定系数法求解，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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