Question

如图，已知抛物线C：y²=2px和⊙M：（x-4）²+y²=1，过抛物线C上一点H（x，y）作两条直线与⊙M相切于A、B两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点M到抛物线准线的距离为． 
（1）求抛物线C的方程；
（2）当∠AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用点M（4，0）到抛物线准线的距离为，即可得出p．
（2）当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），可得k_HE=-k_HF，
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），利用抛物线的方程和斜率计算公式即可得出．
解答：解：（1）∵点M（4，0）到抛物线准线的距离为，
∴p=，即抛物线C的方程为y²=x．
（2）∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），∴k_HE=-k_HF，
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
∴，
∴，
∴y₁+y₂=-2y_H=-4．
==．
点评：熟练掌握抛物线的标准方程及其性质、圆的切线的性质、斜率计算公式等是解题的关键．