Question

△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cosA=

4

5

．
（1）求sin2

B+C

2

+cos2A的值；
（2）若b=2，△ABC的面积S=3，求a的值．

Answer 1

分析：（1）利用诱导公式及二倍角的余弦公式对式子化简，sin2

B+C

2

+cos2A=cos2

A

2

+cos2A=

1+cosA

2

+2cos2A-1，代入可求
（2）由cosA=

4

5

 可求sinA，代入三角形的面积公式 S=

1

2

bcsinA可求c，然后利用余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA可求a

解答：解：（1）sin2

B+C

2

+cos2A=cos2

A

2

+cos2A
=

1+cosA

2

+2cos2A-1
=

1+ 4 5

2

+2×

16

25

-1=

59

50

（6分）
（2）∵cosA=

4

5

∴sinA=

3

5

  S=

1

2

bcsinA=

1

2

×2c×

3

5

=3 
∴c=5，a²=b²+c²-2bccosA=4+25-2×2×5×

4

5

=13 
∴a=

13

（7分）

点评：本题主要考查了三角函数的诱导公式及二倍角公式、同角平分关系及余弦定理在三角函数求值化简中的应用．