Question

已知数列{a_n} 满足{a_n}=

( 1 3 -a)n+2，n＞8 an-7，n≤8.

，若对于任意的n∈N^*都有a_n＞a_n+1，则实数a的取值范围是（　　）

• A．（0，

  1

  3

  ）
• B．（0，

  1

  2

  ）
• C．（

  1

  3

  ，

  1

  2

  ）
• D．（

  1

  2

  ，1）

Answer 1

分析：对于任意的n∈N^*都有a_n＞a_n+1，可知：数列{a_n}单调递减，可得0＜a＜1．再分类讨论即可得出．

解答：解：∵对于任意的n∈N^*都有a_n＞a_n+1，∴数列{a_n}单调递减，可知0＜a＜1．
①当

1

3

＜a＜1时，n＞8，an=(

1

3

-a)n+2单调递减，而an=an-7（n≤8）单调递减，
∴(

1

3

-a)×9+2≤a8-7，解得a≥

1

2

，因此

1

2

≤a＜1．
②当0＜a＜

1

3

时，n＞8，an=(

1

3

-a)n+2单调递增，应舍去．
综上可知：实数a的取值范围是

1

2

≤a＜1．
故选D．

点评：熟练掌握一次函数和指数函数的单调性是解题的关键．