Question

设函数f(x)=

3

cos2x+sinxcosx-

3

2

．
（1）求函数f（x）的最小正周期T，并求出函数f（x）的单调递增区间；
（2）求在[0，3π）内使f（x）取到最大值的所有x的和．

Answer 1

分析：（1）利用两角和与差的三角函数将f（x）=

3

cos²x+sinxcosx-

3

2

化为f（x）=sin（2x+

π

3

），即可求得函数f（x）的最小正周期T及函数f（x）的单调递增区间；
（2）由f（x）=sin（2x+

π

3

）=1可求得x，由x∈[0，3π）即可求得f（x）取到最大值的所有x的和．

解答：解：（1）∵f（x）=

3

cos²x+sinxcosx-

3

2

=

3 (1+cos2x)

2

+

1

2

sin2x-

3

2

=

3

2

cos2x+

1

2

sin2x
=sin（2x+

π

3

），…（2分）
故T=π，…（4分）
∵2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
∴kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间为：[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]（k∈Z）…（6分）
（2）∵f（x）=1即sin（2x+

π

3

）=1，则2x+

π

3

=2kπ+

π

2

，
∴x=kπ+

π

12

（k∈Z）…（8分）
∵0≤x＜3π，
∴k=0，1，2…（10分）
∴在[0，3π）内使f（x）取到最大值的所有x的和为

13π

4

…（12分）

点评：本题考查两角和与差的三角函数，考查正弦函数的单调性与最值，考查规范答题与运算能力，属于中档题．