Question

已知椭圆的左右焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），且经过点，M为椭圆上的动点，以M为圆心，MF₂为半径作圆M．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若圆M与y轴有两个交点，求点M横坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题设知及椭圆定义得|PF₁|+|PF₂|=2a，求出a=2．又c=1．由此能求出椭圆方程．
（2）先设M（x，y），得到圆M的半径，再利用圆心M到y轴距离d=|x|，结合圆M与y轴有两个交点时，则有r＞d，即可构造关于x不等式，从而解得点M横坐标的取值范围．
解答：解：（1）由椭圆定义得|PF₁|+|PF₂|=2a，…（1分）
即，…（3分）
∴a=2．又c=1，∴b²=a²-c²=3．…（5分）
故椭圆方程为．…（6分）
（2）设M（x，y），则圆M的半径，…（7分）
圆心M到y轴距离d=|x|，…（8分）
若圆M与y轴有两个交点则有r＞d即，…（9分）
化简得．…（10分）
∵M为椭圆上的点
∴，…（11分）
代入以上不等式得，
解得．…（12分）
∵-2≤x≤2，…（13分）
∴．…（14分）
点评：本题考查椭圆方程和直线与圆锥曲线的关系，综合性强，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．