Question

已知函数f（x）=2sinx-2cosx．
（Ⅰ）求f（x）的最大值和最小值，及相应的x的取值集合；
（Ⅱ）若f（x）=0，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用辅助角公式可求得f（x）=4sin（x-），利用正弦函数的性质即可求得f（x）的最大值和最小值，及相应的x的取值集合；
（Ⅱ）由f（x）=0可求得x=kπ+，k∈Z．化简为cot（+），利用两角和的正切即可求得答案．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=2sinx-2cosx=4sin（x-），
∴当x-=2kπ+，即x=2kπ+，（k∈Z）时
f（x）有最大值，f（x）_max=4，
∴f（x）有最大值时x的集合为{x|x=2kπ+，k∈Z}；
当x-=2kπ-，即x=2kπ-，（k∈Z）时
f（x）有最小值，f（x）_min=-4；
∴f（x）有最小值时x的集合为{x|x=2kπ-，k∈Z}；
（Ⅱ）∵f（x）=0，
∴4sin（x-）=0，
∴x-=kπ，
∴x=kπ+，k∈Z．
∴
=
=
=
=cot（kπ++）
=cot（+）
==2-．
点评：本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查正弦函数的最值，考查两角和的正切，属于中档题．