Question

在△ABC中，边a，b，c的对角分别为A．B、C，且sin²A+sin²C-sinA•sinC=sin²B
（1）求角B的值；
（2）求2cos²A+cos（A-C）的范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）把正弦定理代入已知条件可得 a²+c²-b²=ac，再由余弦定理求得，cosB==，由此可得 B的值．
（2）△ABC中，由B=，可得 A+C=，即 C=-A，A-C=2A-．利用三角恒等变换化简 2cos²A+cos（A-C）为
sin（2A+）+1．根据 0＜A＜，利用正弦函数的定义域和值域求得即2cos²A+cos（A-C）的范围．
解答：解析：（1）△ABC中，由正弦定理得sinA=，sinB=，sinC=，
代入已知式，可得 a²+c²-b²=ac，
再由余弦定理求得，cosB==，∴B=．
（2）△ABC中，A+B+C=π，又B=，∴A+C=，即 C=-A，A-C=2A-．
∴2cos²A+cos（A-C）=2cos²A+cos（2A-）=cos2A+1+cos2A•（-）+sin2A•=sin2A+cos2A+1
=sin（2A+）+1．
∵0＜A＜，∴＜2A+＜，∴-1＜sin（2A+）≤1，0＜sin（2A+）+1≤2，
即2cos²A+cos（A-C）的范围是（0，2]．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦定理以及正弦函数的定义域和值域，属于中档题．