Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₃+a₇=18，且a_n-1+a_n+1=2a_n（n≥2）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c_n=2^n-1•a_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a_n-1+a_n+1=2a_n（n≥2）知，数列{a_n}是等差数列，设其公差为d，则a5=

1

2

(a3+a7)=9，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）c_n=（2n-1）•2^n-1，T_n=c₁+c₂+…+c_n=1×2⁰+3×2+5×2²+…+（2n-1）×2^n-1，由错位相减法得-T_n=1+2（2¹+2²+2³++2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ，由此能求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答：解：（Ⅰ）由a_n-1+a_n+1=2a_n（n≥2）知，数列{a_n}是等差数列，
设其公差为d，（2分）
则a5=

1

2

(a3+a7)=9，
所以d=

a5-a1

4

=2，（4分）a_n=a₁+（n-1）d=2n-1，
即数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1．（6分）
（Ⅱ）c_n=（2n-1）•2^n-1，
T_n=c₁+c₂+…+c_n=1×2⁰+3×2+5×2²+…+（2n-1）×2^n-1，
2T_n=1×2¹+3×2²++（2n-3）×2^n-1+（2n-1）×2ⁿ，
相减得-T_n=1+2（2¹+2²+2³++2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ，（9分）
整理得-Tn=1+2×

2-2n

1-2

-(2n-1)•2n=-(2n-3)•2n-3，
所以T_n=（2n-3）•2ⁿ+3．（12分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意递推公式的合理运用．