Question

已知函数f（x）=

1-2|x- 1 2 |，0≤x≤1 log2013x，    x＞1

，若方程f（x）=m有三个不等实根x₁、x₂、x₃，则x₁+x₂+x₃的取值范围是

（2，2014）

．

Answer 1

分析：画出函数y=f（x）的图象，y=m，方程f（x）=m有三个不等实根x₁、x₂、x₃，可知0＜m＜1．不妨设x₁＜x₂＜x₃，利用对称性及图象可得x1+x2=2×

1

2

=1，x₃＞1，由0＜m＜1，可得log₂₀₁₃x＜1，得到x₃＜2013，即可x₁+x₂+x₃取值范围．

解答：解：f(x)=

2x，0≤x≤ 1 2 2-2x， 1 2 ＜x≤1 log2013x，x＞1

，y=m画出图象，
∵方程f（x）=m有三个不等实根x₁、x₂、x₃，
不妨设x₁＜x₂＜x₃，则x1+x2=2×

1

2

=1，x₃＞1，
则x₁+x₂+x₃＞2，
由0＜m＜1，∴log₂₀₁₃x＜1，得到x₃＜2013，
∴x₁+x₂+x₃＜2014，
∴x₁+x₂+x₃的取值范围是（2，2014）．
故答案为（2，2014）．

点评：本题考查了函数的图象和函数的对称性、单调性，属于难题．