Question

已知向量

m

=(-x+1，2)，

n

=(3，2y-1)，若

m

⊥

n

，则8x+(

1

16

)y的最小值为（　　）

• A、2
• B、4
• C、2

  2

• D、4

  2

Answer 1

分析：先根据

m

⊥

n

，可得

m

•

n

=0，从而求出x，y的等量关系，然后直接利用基本不等式可求出8x+(

1

16

)y的最小值，注意等号成立的条件．

解答：解：∵向量

m

=(-x+1，2)，

n

=(3，2y-1)，

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=（-x+1）×3+2×（2y-1）=-3x+4y+1=0，即3x-4y=1，
∴8x+(

1

16

)y≥2

8x•( 1 16 )y

=2

23x•2-4y

=2

23x-4y

=2

2

，
当且仅当8x=(

1

16

)y，即x=

1

6

，y=-

1

8

时取等号；
∴8x+(

1

16

)y的最小值为2

2

．
故选：C．

点评：本题考查了基本不等式在最值问题中的应用以及数量积判断两个平面向量的垂直关系．两向量垂直可以转化为两向量的数量积等于0，也可以运用向量的数量积的坐标运算进行求解．在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断．运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值．属于中档题．