Question

已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值．
（1）试求动点P的轨迹方程C；
（2）设直线l：y=kx+1与曲线C交于M．N两点，当时，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设出P的坐标，利用动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值，建立方程，化简可求动点P的轨迹方程C．
（Ⅱ）直线l：y=kx+1与曲线C方程联立，利用韦达定理计算弦长，即可求得结论．
解答：解：（Ⅰ）设动点P的坐标是（x，y），由题意得：k_PAk_PB=
∴，化简，整理得
故P点的轨迹方程是，（x≠±）
（Ⅱ）设直线l与曲线C的交点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由得，（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0
∴x₁+x₂=，x₁ x₂=
|AB|=，
整理得，7k⁴-2k²-5=0，解得k²=1，或k²=-（舍）
∴k=±1，经检验符合题意．
∴直线l的方程是y=±x+1，即：x-y+1=0或x+y-1=0
点评：本题考查轨迹方程的求解，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．