Question

将首项为1，公比为2的等比数列的各项排列如表，其中第i行第j个数表示为a_ij（i，j∈N^*），例如a₃₂=16．若aij=22011，则i+j=

122

．

Answer 1

分析：记三角形数阵每一行的第一个数为b_i，得到数列{b_i}满足b_i=2

i(i-1)

2

=a_i1，i∈N^*．再找满足不等式

i(i-1)

2

≤2011的最大整数i，发现使得aij=22011的项在第63行，最后根据等差数列的性质，找到满足条件的项在第63行，第59个数，从而得到i+j=122．

解答：解：题中的三角形数列可作如下排列
2⁰
2¹    2²
2³    2⁴   2⁵
2⁶    2⁷   2⁸    2⁹
…
记每一行的第一项为b_i，即b_i=a_i1，i∈N^*
可得b₁=2⁰，b₂=2¹=2⁰⁺¹，b₃=2³=2¹⁺²，b₄=2⁶=2¹⁺²⁺³，…
依此类推，可得b_i=2^{1+2+…+（i-1）}，i∈N^*
∴a_i1=b_i=2^{1+2+…+（i-1）}=2

i(i-1)

2

，
令

i(i-1)

2

≤2011，可得i的最大值为63，所以满足aij=22011的项a_ij在第63行
∵b₆₃=2

63×62

2

=2¹⁹⁵³，2011-1953=58
∴aij=22011在第63行，第59个数．即i=63，j=59，故i+j=122
故答案为：122

点评：本题以三角形数阵为载体，叫我们找指定项的位置，着重考查了等差、等比数列的通项与性质和归纳推理的一般原理，属于中档题．