Question

已知焦点在y轴,顶点在原点的抛物线C₁经过点P(2,2),以C₁上一点C₂为圆心的圆过定点A(0,1),记为圆与轴的两个交点.
(1)求抛物线的方程;
(2)当圆心在抛物线上运动时,试判断是否为一定值？请证明你的结论;
(3)当圆心在抛物线上运动时,记,,求的最大值．

Answer 1

(1）x²="2y" ；(2)定值2；(3）

试题分析：(1)由焦点在y轴,顶点在原点的抛物线假设为，又C₁经过点P(2,2)，即可求出抛物线的.即可得抛物线的方程.
(2）当圆心在抛物线上运动时，写出圆的方程，再令y=0即可求得圆的方程与x轴的两交点的坐标，计算两坐标的差即可得到结论.
(3）当圆心在抛物线上运动时，由(1)可得M,N的坐标（其中用圆心的坐标表示）.根据两点的距离公式即可用圆心的坐标表示m,n的值，将适当变形，再根据基本不等式即可求得的最大值.
(1)由已知,设抛物线方程为x²=2py,2²=2p×2,解得p=1.
所求抛物线C₁的方程为x²=2y.-------3分
(2)法1：设圆心C₂(a,a²/2),则圆C₂的半径r=
圆C₂的方程为.
令y=0,得x²－2ax+a²－1=0,得x₁=a－1,x₂=a+1.
|MN|=|x₁－x₂|=2(定值).------7分
法2：设圆心C₂(a,b),因为圆过A(0,1),所以半径r=,
,因为C₂在抛物线上,a²=2b,且圆被x轴截得的弦长
|MN|=(定值)---7分
(3)由(2)知,不妨设M(a-1,0),N(a+1,0),