Question

已知函数f（x）=

|x|-a

|x-a|

，则下列说法中正确的是（　　）

• A、若a≤0，则f（x）≤1恒成立
• B、若f（x）≥1恒成立，则a≥0
• C、若a＜0，则关于x的方程f（x）=a有解
• D、若关于x的方程f（x）=a有解，则0＜a≤1

Answer 1

分析：利用特殊值判断A的正误；通过绝对值的几何意义判断B的正误；通过方程的零点判断C的正误；利用函数的值域判断D的正误；

解答：解：对于A，若a≤0，则f（x）≤1恒成立；当a=-1时，f（x）=

|x|+1

|x+1|

，x∈（-1，0）时，f（x）＞1，∴A不正确；
对于B，若f（x）≥1恒成立，即

|x|-a

|x-a|

≥1，可得|x|-|x-a|≥a，当a≥0时，x＜0，不等式不成立．∴B不正确；
对于C，若a＜0，则关于x的方程f（x）=a有解，即

|x|-a

|x-a|

=a有解，显然不等式不成立，∴C不成立．
对于D，若关于x的方程f（x）=a有解，当a≤0时，f（x）＞0，等式不成立，
当a＞1时，f（x）≤1，不等式不成立，当0＜a≤1，f（x）∈（0，1）．∴D正确．
故选：D．

点评：本题考查函数的基本性质，函数恒成立，函数的零点，绝对值不等式的几何意义，考查基本知识的应用．