题目内容

定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．
（1）试求f（0）的值；
（2）判断f（x）的单调性并证明你的结论；
（3）若不等式f[（t-2）（|x-4|-|x+4|）]＞f（t2-4t+13）对t∈[4，6]恒成立，求实数x的取值范围．
（1）令m=1，n=0，则f（1）=f（1）f（0），又0＜f（1）＜1，故f（0）=1
（2）当x＜0时，-x＞0，则0＜f(-x)＜1?f(x)=
1
f(-x)
＞0
即对任意x∈R都有f（x）＞0
对于任意x1＞x2，
f(x1)
f(x2)
=f(x1-x2)＜1?f(x1)＜f(x2)
即f（x）在R上为减函数．

（3）∵y=f（x）为R上的减函数
∴f[（t-2）（|x-4|-|x+4|）]＞f（t2-4t+13）
?（t-2）（|x-4|-|x+4|）＜t2-4t+13?|x-4|-|x+4|＜
t2-4t+13
t-2

由题意知，|x-4|-|x+4|＜(
t2-4t+13
t-2
)min
而
t2-4t+13
t-2
=(t-2)+
9
t-2
∈[6，  6
1
2
]
∴须|x-4|-|x+4|＜6，解不等式得x＞-3
所以原不等式的解集为：{x：x＞-3}．
练习册系列答案
相关题目
定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数，若f（x）的最小正周期是π，且当x∈[0，
π
2
]时，f（x）=sinx，则f（
5π
3
）的值为
 
．
20、已知定义在R上的函数f（x）=-2x3+bx2+cx（b，c∈R），函数F（x）=f（x）-3x2是奇函数，函数f（x）在x=-1处取极值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）讨论f（x）在区间[-3，3]上的单调性．
定义在R上的函数f（x）满足：f(x+2)=
1-f(x)1+f(x)
，当x∈（0，4）时，f（x）=x2-1，则f（2010）=
 
．
已知定义在R上的函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤
π
2
），最大值与最小值的差为4，相邻两个最低点之间距离为π，函数y=sin（2x+
π
3
）图象所有对称中心都在f（x）图象的对称轴上．
（1）求f（x）的表达式；    
（2）若f（
x0
2
）=
3
2
（x0∈[-
π
2
，
π
2
]），求cos（x0-
π
3
）的值．
已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x 0 1 2 3
f（x） 3.1 0.1 -0.9 -3
那么函数f（x）一定存在零点的区间是（　　）

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