题目内容

已知函数f（x）对任意的x∈R都有f（1+x）=f（1-x），函数 $数学公式$ 是奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x-1，则方程 $数学公式$ 在区间[-3，4]内的所有根的和等于________．

$\text{[math]}$
分析：根据f（1+x）=f（1-x）可得函数关于直线x=1对称，函数 $\text{[math]}$ 是奇函数，可得函数关于（ $\text{[math]}$ ，0）对称，结合函数的解析式，画出函数的图象，即可得到结论．
解答：

解：∵f（1+x）=f（1-x），∴f（x）=f（2-x），∴函数关于直线x=1对称
∵函数 $\text{[math]}$ 是奇函数，∴ $\text{[math]}$ ，
∴函数关于（ $\text{[math]}$ ，0）对称
结合函数的图象，根据图象的对称性，可得方程 $\text{[math]}$ 在区间[-3，4]内的所有根的和等于（-2）×2+2×2+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题考查函数的性质，考查数形结合的数学思想，确定函数的性质是关键．

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已知函数f（x）=e^x，直线l的方程为y=kx+b．
（1）求过函数图象上的任一点P（t，f（t））的切线方程；
（2）若直线l是曲线y=f（x）的切线，求证：f（x）≥kx+b对任意x∈R成立；
（3）若f（x）≥kx+b对任意x∈[0，+∞）成立，求实数k、b应满足的条件．

若实数x、y、m满足|x-m|＞|y-m|，则称x比y远离m．
（1）若x²-1比1远离0，求x的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a³+b³比a²b+ab²远离2ab

；
（3）已知函数f（x）的定义域D={{x|x≠

，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中远离0的那个值．写出函数f（x）的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）．

若实数x、y、m满足|x-m|＜|y-m|，则称x比y接近m．
（1）若x²-1比3接近0，求x的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a²b+ab²比a³+b³接近2ab

；
（3）已知函数f（x）的定义域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那个值．写出函数f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）．

已知函数f（x）=

．
（Ⅰ）证明函数y=f（x）的图象关于点（0，

）对称；
（Ⅱ）设y=f-1(x)为y=f(x)的反函数，令g(x)=f-1(

)，是否存在实数b，使得任给a∈[

]，对任意x∈(0，+∞)．不等式g(x)＞x-ax2+b恒成立？若存在，求b的取值范围；若不存在，说明理由．

（2012•海淀区一模）已知函数f（x）=

，则f（f（x））=

下面三个命题中，所有真命题的序号是

．
①函数f（x）是偶函数；
②任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立；
③存在三个点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃）），使得△ABC为等边三角形．