Question

已知函数

（Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值；

（Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围；

（Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解（Ⅰ）                        1分

若函数在上递增，则对恒成立，即对恒成立，而当时，                           

若函数在上递减，则对恒成立，即对恒成立，这是不可能的．

综上，  的最小值为1．                                            4分

（Ⅱ）解1、由

令

得=0的根为1，所以

 当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，

所以在处取到最大值，又 ，，

所以要使与有两个不同的交点，则有                                           ……………8分

（Ⅲ）假设存在，不妨设

   9分  

                               

若则，即，即． （*）      12分

令，（)，  

则＞0．∴在上增函数， ∴，

∴（*）式不成立，与假设矛盾．∴         

因此，满足条件的不存在．                                           15分