题目内容

设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)a、b、c均为整数,且f(0)、f(1)均为奇数,求证:f(x)=0无整数根.

解析:否定性结论可用反证法.

证明:设f(x)=0有一个整数根k.

则ak2+bk=-c.①

∵f(0)=c,∴f(1)=a+b+c均为奇数.

∴a+b为偶数.

当k为偶数时,显然与①式矛盾;

当k为奇数时,设k=2n+1(n∈Z).

则ak2+bk=a(2n+1)2+b(2n+1)

=(2n+1)(2na+a+b)为偶数.

也与①式矛盾,故假设不成立.

∴方程f(x)=0无整数根.

练习册系列答案
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设二次函数f(x)=x2+x+c(c＞
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)的图象与x轴的左右两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x2-x1的取值范围为（　　）
A、（0，1）
B、(0，
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)
C、(
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，
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)
D、(
2
2
，1)
设二次函数f(x)=(k-4)x2+kx
 &(k∈R)
，对任意实数x，有f（x）≤6x+2恒成立；数列{an}满足an+1=f（an）．
（1）求函数f（x）的解析式和值域；
（2）试写出一个区间（a，b），使得当a1∈（a，b）时，数列{an}在这个区间上是递增数列，并说明理由；
（3）已知，是否存在非零整数λ，使得对任意n∈N*，都有log3(
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-a1
)+log3(
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-a2
)+…+log3(
1
1
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-an
)＞(-1)n-12λ+nlog32-1-1+（-1）n-12λ+nlog32恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由．
（2014•长宁区一模）设二次函数f(x)=(k-4)x2+kx
 (k∈R)
，对任意实数x，有f（x）≤6x+2恒成立；数列{an}满足an+1=f（an）．
（1）求函数f（x）的解析式和值域；
（2）证明：当an∈(0，
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)时，数列{an}在该区间上是递增数列；
（3）已知a1=
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，是否存在非零整数λ，使得对任意n∈N*，都有log3(
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-a1
)+log3(
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-a2
)+…+log3(
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-an
)＞-1+（-1）n-12λ+nlog32恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由．
设二次函数f(x)=(k-4)x2+kx
 &(k∈R)
，对任意实数x，f（x）≤6x+2恒成立；正数数列{an}满足an+1=f（an）．
（1）求函数f（x）的解析式和值域；
（2）试写出一个区间（a，b），使得当an∈（a，b）时，数列{an}在这个区间上是递增数列，并说明理由；
（3）若已知，求证：数列{lg(
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-an)+lg2}是等比数列．

设二次函数f(x)=x2－x+a(a>0),若f(m)<0,则f(m－1)的值为(    )

A.正数          B.负数   　　C.非负数              D.正数、负数和零都有可能

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