Question

【题目】如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AP⊥BP，AC⊥BC，∠PAB=60°，∠ABC=45°，D是AB中点，E，F分别为PD，PC的中点．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面PCD；
（Ⅱ）求二面角B﹣PA﹣C的余弦值；
（Ⅲ）在棱PB上是否存在点M，使得CM∥平面AEF？若存在，求 的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：∵AP⊥BP，D是AB中点，
∴PD=AD，
又∠PAB=60°，∴△PAD是等边三角形，
又E为PD的中点，∴AE⊥PD，
∵AC⊥BC，∠ABC=45°，
又D是AB的中点，∴CD⊥AB，
∵平面PAB⊥平面ABC，又平面PAB∩平面ABC=AB，
∴CD⊥平面PAB，∵AE平面PAB，∴CD⊥AE，
又CD∩PD=D，∴AE⊥平面PCD．
（Ⅱ）解：以A为原点，作Ax∥DC，以AB所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，
设AB=2a，则A（0，0，0），B（0，2a，0），C（a，a，0），D（0，a，0），P（0， ），
∵CD⊥平面PAB，∴平面PAB的一个法向量为 =（﹣a，0，0），
设平面PAC的一个法向量为 =（x，y，z），
则 ，令x=1，得 =（1，﹣1， ），
设二面角B﹣PA﹣C的平面角为θ，
由图知，二面角B﹣PA﹣C为锐角，
∴cosθ= = = ，
∴二面角B﹣PA﹣C的余弦值为 ．
（Ⅲ）PB上存在M，使得CM∥平面AEF，此时 = ．
证明：在平面ABP中，延长AE交BP为G，
取BG中点M，∵M为BG中点，D为AB中点，
∴DM∥AG，又E为PD中点，∴G为PM中点，
此时， = ，∴DM∥AE，
∵DM面AEF，AE面AEF，
∴DM∥平面AEF，
∵E，F分别是PD，PC的中点，
∴CD∥EF，CD面AEF，EF平面AEF，
∴CD∥平面AEF，CD∩DM=D，CD面CDM，DM面CDM，
∴面CDM∥面AEF，
∵CM面CDM，∴CM∥面AEF．

【解析】（Ⅰ）推导出PD=AD，从而△PAD是等边三角形，进而AE⊥PD，再求出CD⊥AB，从而CD⊥平面PAB，进而CD⊥AE，由此能证明AE⊥平面PCD．（Ⅱ）以A为原点，作Ax∥DC，以AB所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣PA﹣C的余弦值．（Ⅲ）在平面ABP中，延长AE交BP为G，取BG中点M，推导出G为PM中点，此时， = 从而DM∥平面AEF，推导出面CDM∥面AEF，从而得到CM∥面AEF．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定和直线与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能正确解答此题．