题目内容

椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的两个焦点是F1（-c，0）、F2（c，0），M是椭圆上一点，且
F1M
•
F2M
=0，则离心率e的取值范围是
[
2
2
，1）
[
2
2
，1）
．
分析：先设点M的坐标，进而表示出
F1M
和
F2M
，根据
F1M
•
F2M
=0求得x和y的关系式，同时把点M代入椭圆方程，表示出x，进而根据0≤x2≤a2，求得a和c的不等式，进而求得离心率e的范围．
解答：解：设点M的坐标为（x，y），则
F1M
=（x+c，y），
F2M
=（x-c，y）．
由
F1M
•
F2M
=0，得
x2-c2+y2=0．①
又由点M在椭圆上，得
y2=b-
b2x2
a2
，代入①，解得
x2=a2-
a2b2
c2
．
∵0≤x2≤a2，
∴0≤a2-
a2b2
c2
≤a2，
即0≤
2c2-a2
c2
≤1，
0≤2-
1
e2
≤1．
∵e＞0，
解得
2
2
≤e≤1．
又∵e＜1，
∴
2
2
≤e＜1．
故答案为：[
2
2
，1）
点评：本题主要考查了椭圆的简单性质和不等式的运用．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．属中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=
2
2
，右准线方程为x=2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直线l的方程．
精英家教网如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，求证：|AT|2=
1
2
|AF1||AF2|．
精英家教网如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF1的中点，求证：∠ATM=∠AF1T．
设 A（x1，y1）、B（x2，y2）是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的两点，O为坐标原点，向量
m
=(
x1
a
，
y1
b
)，
n
=(
x2
a
，
y2
b
)且
m
•
n
=0．
（1）若A点坐标为（a，0），求点B的坐标；
（2）设
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
，证明点M在椭圆上；
（3）若点P、Q为椭圆 上的两点，且
PQ
∥
OB
，试问：线段PQ能否被直线OA平分？若能平分，请加以证明；若不能平分，请说明理由．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=
2
2
，右准线方程为x=2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直线l的方程．

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