题目内容
设函数
。
（1）判断函数
的奇偶性，并给予证明；
（2）证明：函数
在其定义域上是单调增函数。
。（1）判断函数
的奇偶性，并给予证明；（2）证明：函数
在其定义域上是单调增函数。 （1）解：
是奇函数；
由
，得x∈R，即所给函数的定义域为R，显然它关于原点对称，
又∵
，
∴函数
是奇函数。
（2）证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，
则
，
令
，
则
，
∵x1-x2＜0，
，
，
，
∴t1-t2＜0，∴0＜t1＜t2，
∴
，
∴f (x1)-f (x2)＜lg1=0，即f (x1)＜f (x2)，
∴ 函数f(x)在R上是单调增函数。
是奇函数；由
，得x∈R，即所给函数的定义域为R，显然它关于原点对称，又∵
，∴函数
是奇函数。（2）证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，
则
，令
，则
，∵x1-x2＜0，
，，，∴t1-t2＜0，∴0＜t1＜t2，
∴
，∴f (x1)-f (x2)＜lg1=0，即f (x1)＜f (x2)，
∴ 函数f(x)在R上是单调增函数。
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