Question

已知圆C：x²+y²-2x+4y-4=0．
（Ⅰ）若过定点（-2，0）的直线l与圆C相切，求直线l的方程；
（Ⅱ）若过定点（-1，0）且倾斜角为

π

6

的直线l与圆C相交于A，B两点，求线段AB的中点P的坐标；
（Ⅲ）问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦为EF，且以EF为直径的圆经过原点？若存在，请写出求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）当直线l的斜率不存在时，直线x=-2与⊙C相切，因此直线x=-2是圆的一条切线；当直线l的斜率存在时，设切线方程为y=k（x+2），则圆心C到切线l的距离d=r．利用点到直线的距离公式得出k即可；
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．过定点（-1，0）且倾斜角为

π

6

的直线l方程为：y=

3

3

(x+1)．与圆的方程联立化为关于x的一元二次方程的根与系数的关系，利用中点坐标公式即可得出；
（III）假设存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦为EF，且以EF为直径的圆经过原点．设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）．设直线l的方程为y=x+m．与圆的方程联立得到关于x的一元二次方程，由于直线l与圆相交于不同两点，可得△＞0，（*）利用根与系数的关系可得

OE

•

OF

=x₁x₂+y₁y₂=0，解得m再代入（*）验证即可．

解答：解：（I）圆C：（x-1）²+（y+2）²=9．得到圆心C（1，-2），半径r=3．
当直线l的斜率不存在时，直线x=-2与⊙C相切，因此直线x=-2是圆的一条切线；
当直线l的斜率存在时，设切线方程为y=k（x+2），则圆心C到切线l的距离d=r．
∴

|k+2+2k|

1+k2

=3，解得k=

5

12

．
∴切线l的方程为y=

5

12

(x+2)，即5x-12y+10=0．
综上可知：切线l的方程为x=-2或5x-12y+10=0．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
过定点（-1，0）且倾斜角为

π

6

的直线l方程为：y=

3

3

(x+1)．
联立

y= 3 3 (x+1) x2+y2-2x+4y-4=0

化为4x2+(4

3

-4)x+4

3

-11=0，
∴x₁+x₂=1-

3

，
∴xP=

x1+x2

2

=

1- 3

2

，yP=

3

3

(

1- 3

2

+1)=

3 -1

2

．
∴P(

1- 3

2

，

3 -1

2

)．
（III）假设存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦为EF，且以EF为直径的圆经过原点．
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）．
设直线l的方程为y=x+m．联立

y=x+m x2+y2-2x+4y-4=0

，化为2x²+（2+2m）x+m²+4m-4=0．
∵直线l与圆相交于不同两点，∴△=（2+2m）²-8（m²+4m-4）＞0，化为m²+6m-9＜0．（*）
∴x₁+x₂=-（1+m），x1x2=

m2+4m-4

2

．
∵

OE

•

OF

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（x₁+m）（x₂+m）=2x1x2+m(x1+x2)+m2=m²+4m-4-m（1+m）+m²=0，
解得m=-4或1，经验证满足（*）．
∴存在斜率为1的直线l：y=x-4或y=x+1满足题意．

点评：本题综合考查了直线与圆的位置关系转化为方程联立得到△与0的关系、根与系数的关系、圆的切线的性质、数量积运算与向量垂直的关系、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，属于难题．