Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b²=ac=a²-c²+bc．
（1）求

bsinB

c

的值；
（2）试判断△ABC的形状，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理表示出cosA，将已知的等式b²=a²-c²+bc变形后代入，求出cosA的值，再由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，然后由b²=ac表示出c，代入所求的式子中化简后，再利用正弦定理得到sinA=

asinB

b

，可得所求的式子与sinA的值相等，由A的度数求出sinA的值，即为所求式子的值；
（2）三角形为等边三角形，理由为：可设c=1，代入已知的等式中，再消去a，得到关于b的方程，求出方程的解得到b的值，进而确定出a的值，发现a，b及c的值相等，根据三边相等的三角形为等边三角形可得证．

解答：解：（1）∵b²=a²-c²+bc，即b²+c²-a²=bc，
∴由余弦定理得：cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
又A为三角形的内角，
∴A=

π

3

，…（3分）
又b²=ac，即c=

b2

a

，
∴

bsinB

c

=

absinB

b2

=

asinB

b

，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：sinA=

asinB

b

，
∴

asinB

c

=sinA，又sinA=

3

2

，
则

bsinB

c

=

3

2

； …（7分）
（2）△ABC为等边三角形，理由如下：…（9分）
证明：不失一般性，可设c=1，
∵b²=ac=a²-c²+bc，
∴b²=a=a²+b-1，
消去a得：b²=b⁴+b-1，即（b-1）（b³+b²+1）=0，
∵b³+b²+1≠0，
∴b-1=0，即b=1，
∴a=b²=1，
∴a=b=c=1，
则△ABC为等边三角形．…（14分）

点评：此题考查了解三角形，以及三角形形状的判断，涉及的知识有：等边三角形的判定，正弦、余弦定理，特殊角的三角函数值，特值法，以及方程的思想，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．