Question

圆有如下两个性质：（1）圆上任意一点与任意不过该点的圆的直径的两端点的连线的斜率（若斜率存在）之积为定值－1；（2）圆的任意一条弦的中点与圆心的连线的斜率（若斜率存在）与该弦的斜率（若斜率存在）之积为定值－1。
（Ⅰ）试探究：椭圆上的任意一点与任意过椭圆中心但不过该点的弦的端点连线的斜率（若斜率存在）之积是否为定值，若是请求出该定值；
（Ⅱ）写出类比圆的性质（2）得到的椭圆的类似性质，并证明之。

Answer 1

解：（Ⅰ）设为椭圆上的任意一点，AB为椭圆的任意一条过中心的弦，且，则，
则：，，
两式作差得：；
，，
则，
则椭圆上的任意一点与任意过椭圆中心的弦的端点连线的斜率之积为定值。
（Ⅱ）椭圆的任意一条弦的中点与椭圆中心的连线的斜率（若斜率存在）与该弦的（若斜率存在）之积为定值。
证明：设AB为椭圆的任意一条不平行与坐标轴的弦，，AB中点，椭圆中心O，AB的方程为，
联立
并整理得：，
由韦达定理：，
则：，
，
。