题目内容
在平面直角坐标系xOy中，A（2a，0），B（a，0），a为非零常数，动点P满足PA=
PB，记点P的轨迹曲线为C．（1）求曲线C的方程；
（2）曲线C上不同两点Q （x1，y1），R （x2，y2）满足
=λ
，点S为R 关于x轴的对称点．①试用λ表示x1，x2，并求λ的取值范围；
②当λ变化时，x轴上是否存在定点T，使S，T，Q三点共线，证明你的结论．
【答案】分析：（1）利用PA=
PB，化简即得；
（2）①由
=λ
，可得
，又Q，R在曲线C上，所以有
，利用
，由此可确定λ的取值范围．
②先猜想存在符合题意的点T（a，0），再证明．要证S，T，Q三点共线，只要证明
．
解答：解：（1）设点P坐标为（x，y），由PA=
PB，得
，平方整理得x2+y2=2a2，所以曲线C的方程为x2+y2=2a2
（2）①由
=λ
，得
，∵Q，R在曲线C上，∴
，
∴
，∵
，∴
又Q，R不重合，∴λ≠1，∴λ的取值范围是
②存在符合题意的点T（a，0），证明如下：
，
，
要证S，T，Q三点共线，只要证明
，即（x2-a）y1-（x1-a）（-y2）=0
∵y2=λy1，∴只要（x2-a）y1+λ（x1-a）y1=0
若y1=0，则y2=0成立
若y1≠0，只要x2+λx1-a（1+λ）=0成立
所以存在点T（a，0），使S，T，Q三点共线
点评：本题主要考查曲线方程的求解，考查向量与解析几何的联系．对于是否存在性问题，可以先猜后证，把结论作为条件．
PB，化简即得；（2）①由
=λ，可得，又Q，R在曲线C上，所以有，利用，由此可确定λ的取值范围．②先猜想存在符合题意的点T（a，0），再证明．要证S，T，Q三点共线，只要证明
．解答：解：（1）设点P坐标为（x，y），由PA=
PB，得，平方整理得x2+y2=2a2，所以曲线C的方程为x2+y2=2a2（2）①由
=λ，得，∵Q，R在曲线C上，∴，∴
，∵，∴又Q，R不重合，∴λ≠1，∴λ的取值范围是
②存在符合题意的点T（a，0），证明如下：
，，要证S，T，Q三点共线，只要证明
，即（x2-a）y1-（x1-a）（-y2）=0∵y2=λy1，∴只要（x2-a）y1+λ（x1-a）y1=0
若y1=0，则y2=0成立
若y1≠0，只要x2+λx1-a（1+λ）=0成立
所以存在点T（a，0），使S，T，Q三点共线
点评：本题主要考查曲线方程的求解，考查向量与解析几何的联系．对于是否存在性问题，可以先猜后证，把结论作为条件．
练习册系列答案
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