题目内容

函数f（x）对任意x∈R满足f（x）=f（2-x），且x∈[1，3]时，f（x）=2-x，则下列不等式一定成立的是（　　）
分析：由f（x）=f（2-x），得到函数关于x=1对称，然后利用x∈[1，3]时，f（x）=2-x的单调性进行判断．
解答：解：∵f（x）=f（2-x），∴函数关于x=1对称，
∵x∈[1，3]时，f（x）=2-x单调递减．
∴当x∈[-1，1]时，函数f（x）单调递增．
A．∵cos
2π
3
=-
1
2
，sin
2π
3
=
3
2
，∴f(cos
2π
3
)=f(-
1
2
)，f(sin
2π
3
)=f(
3
2
)，∴f(cos
2π
3
)＜f(sin
2π
3
)，即A错误．
B．∵f(cos
π
6
)=f(
3
2
)，f(sin
π
6
)=f(
1
2
)，∴f(sin
π
6
)＜f(cos
π
6
)，即B错误．
C．∵0＜cos1＜sin1＜1，∴f（sin1）＞f（cos1）成立．
D．∵f(sin
3π
4
)=f(cos
π
4
)=f(
2
2
)，∴D错误．
故选C．
点评：本题主要考查函数的单调性和对称性之间的关系，以及三角函数值的大小比较．考查学生的运算能力．
练习册系列答案
相关题目
设函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x≠0时，xf（x）＜0，f（1）=-2
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）试问：在-2≤x≤2时，f（x）是否有最大值？如果有，求出最大值，如果没有，说明理由．
（3）解关于x的不等式
1
2
f(bx)-f(x)＞
1
2
f(b2x)-f(b)．
已知函数f（x）=x+
a
x
+a，x∈[1，+∞），且a＜1
（1）判断f（x）单调性并证明；
（2）若m满足f（3m）＞f（5-2m），试确定m的取值范围．
（3）若函数g（x）=xf（x）对任意x∈[2，5]时，g（x）+2x+
3
2
＞0恒成立，求实数a的取值范围．
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c
（1）若f（-1）=0，试判断函数f（x）零点个数；
（2）若对任意的x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2）（a＞0），试证明：
1
2
[f（x1）+f（x2）]＞f（
x1+x2
2
）成立．
（3）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同时满足以下条件：
①对任意x∈R，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥0；
②对任意的x∈R，都有0≤f（x）-x≤
1
2
(x-1)2？若存在，求出a，b，c的值，若不存在，请说明理由．
若定义在（0，+∞）上的函数f（x）对任意x，y∈（0，+∞），都有f（x•y）=f（x）+f（y），且当x＞1时f（x）＜0．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）判断f（x）的单调性；
（Ⅲ）若f（2）=-1，解不等式f（x-2）+f（x）＞-3．
设函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x≠0时，xf（x）＜0，f（1）=-2
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）试问：在-n≤x≤n时（n∈N*），f（x）是否有最大值？如果有，求出最大值，如果没有，说明理由．
（3）解关于x的不等式
1
2
f(bx2)-f(x)≥
1
2
f(b2x)-f(b)，(b＞0)．

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