Question

【题目】在平面直角坐标系中，点，直线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

当时，判断直线与曲线的位置关系；

若直线与曲线相切于点，求的值．

Answer 1

【答案】直线与曲线相离；.

【解析】

当时，直线的方程为，根据已知条件可得，又因为，，替换写成标准式得，进而判断出直线与曲线相离；

将直线的参数方程代入中，整理得，根据直线与曲线相切，可得，进而算出的值.

当时，直线的方程为，

由，得，又因为，，

得，即，

所以曲线是椭圆，左顶点为，因为直线过点且垂直于轴，

所以直线与曲线相离．

解法一：将直线的参数方程代入中，

得，

整理得，

因为直线与曲线相切，所以，

化简得：，，

因为点在直线上，所以．

解法二：显然直线的斜率存在且过点，

设直线的方程为，

将其代入，并整理得：，

因为直线与曲线相切，

，

，所以，即，，，

所以，所以，

．