Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-2x+m(m∈R)．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设a，b∈[-2，2]，求证：|f（a）-f（b）|＜5．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用导数的正负，可得函数f（x）的单调区间；
（2）求出函数在[-2，2]上的最值，利用|f（a）-f（b）|≤|[f（x）]_max-[f（b）]_min|，即可证得结论．

解答：（1）解：求导函数，可得f′（x）=x²-2．
令f′（x）＜0，可得-

2

＜x＜

2

；令f′（x）＞0，可得x＜-

2

或x＞

2

，
∴f（x）单调递减区间为(-

2

，

2

)；f（x）单调递增为（-∞，-

2

），（

2

，+∞）．
∴f（x）单调的单调递减区间为(-

2

，

2

)；单调的单调递增区间为(-∞，-

2

)，(

2

，+∞)．
（2）证明：由（1）知函数f（x）在[-2，2]上的极大值为f(-

2

)=m+

4

3

2

，极小值为f(

2

)=m-

4

3

2

；
又f(-2)=m+

4

3

，f(2)=m-

4

3

，
∴f（x）在[-2，2]上的最大值f(-

2

)=m+

4

3

2

，最小值为f(

2

)=m-

4

3

2

．
∴|f（a）-f（b）|≤|[f（x）]_max-[f（b）]_min|=|(m+

4

3

2

)-(m-

4

3

2

)|=

8

3

2

＜5．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．