Question

已知函数f(x)=-

1

4

x4+

2

3

x3+ax2-2x-2在区间[-1，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，
（1）求实数a的值
（2）若关于x的方程f（2^x）=m有三个不同实数解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，x=1取得极小值从而有f'（1）=0，代入可求a
（2）由关于x的方程f（2^x）=m有三个不同实数解，?关于t的方程f（t）=m在t∈（0，+∞）上有三个不同实数解，?y=f（t）的图象与直线y=m在t∈（0，+∞）上有三个不同的交点

解答：解：（1）由函数f(x)=-

1

4

x4+

2

3

x3+ax2-2x-2在区间[-1，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，x=1取得极小值∴f'（1）=0…（2分）
∵f'（x）=-x³+2x²+2ax-2
∴f'（1）=-1+2+2a-2=0⇒a=

1

2

…（4分）
（2）由（1）知f(x)=-

1

4

x4+

2

3

x3+

1

2

x2-2x-2，
∴f'（x）=-x³+2x²+x-2=-（x-1）（x+1）（x-2），…（5分）
令f'（x）=0得x=1，x=-1，x=2

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+	0	-
f（x）	增	f(-1)=- 5 12	减	f(1)=- 37 12	增	f(2)=- 8 3	减

所以函数f（x）有极大值f(-1)=-

5

12

，f(2)=-

8

3

，极小值f(1)=-

37

12

f（x）的示意图如图
因关于x的方程f（2^x）=m有三个不同实数解，令2^x=t（t＞0）
即关于t的方程f（t）=m在t∈（0，+∞）上有三个不同实数解，即y=f（t）的图象与直线y=m在t∈（0，+∞）上有三个不同的交点．
而y=f（t）的图象与y=f（x）的图象一致．又f（0）=-2由图可知-

37

12

＜m＜-

8

3

…（10分）

点评：本题主要考查了函数的导数与函数单调性及函数的极值之间的关系的应用，函数与方程之间的相互转化的思想的应用．