Question

已知数列{a_n}，a_n＞0，a_m•a_n=2^m+n，m，n∈N^*．
（1）求证：{a_n}为等比数列，并求出通项公式a_n；
（2）记数列 {nb_n}，的前n项和为S_n且S_n=n（n+1）a_n，求

a1

2b1

+

a2

3b2

+

a3

4b3

+…+

an

(n+1)bn

．

Answer 1

分析：（1）令n=m=1可求得a₁，然后令m=1，n=n+1，可得a_n，a_n+1，由等比数列的定义可判断，并求得通项公式；
（2）由nb_n与S_n的关系可求得nb_n，从而可得b_n，

an

(n+1)bn

，运用裂项相消法可求和；

解答：解：（1）由题意得，a1•a1=22，a₁＞0，得a₁=2，
且a1•an=21+n，a1•an+1=22+n，
所以

an+1

an

=2，且a_n≠0，
所以：{a_n}为等比数列，通项公式an=2n；
（2）由S_n=n（n+1）a_n，当n=1时，得b₁=1×（1+1）a₁=4，
当n≥2时，Sn=n(n+1)•2n，①
Sn-1=n(n-1)•2n-1，②
①-②得nb_n=n（n+3）•2^n-1，即bn=(n+3)•2n-1，
b₁=4满足上式，所以bn=(n+3)•2n-1，
所以

an

(n+1)bn

=

2

(n+1)(n+3)

=

1

n+1

-

1

n+3

，
所以

a1

2b1

+

a2

3b2

+

a3

4b3

+…+

an

(n+1)bn

=

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+

1

4

-

1

6

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

+

1

n+1

-

1

n+3

=

5

6

-

1

n+2

-

1

n+3

．

点评：本题考查等比数列的定义、通项公式，考查数列求和，裂项相消法对数列求和高考考查重点，应重点掌握．