Question

【题目】已知：直线，一个圆与轴正半轴与轴正半轴都相切，且圆心到直线的距离为．

（）求圆的方程．

（）是直线上的动点， ， 是圆的两条切线， ， 分别为切点，求四边形的面积的最小值．

（）圆与轴交点记作，过作一直线与圆交于， 两点， 中点为，求最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】试题分析：（1）圆的方程可设为， ，圆心到直线的距离为，由点到直线距离列方程求解即可；

（2）分析可得当斜边取最小值时， 也最小，即四边形的面积最小，从而可得最小面积；

（3），取关于原点的对称点坐标，连接， ，可知为的中位线，所以要使最大，则最大即可.

试题解析：

（）解：圆与， 轴正半轴都相切，

∴圆的方程可设为， ，

圆心到直线的距离为，

∴由点到直线距离公式得，解得，

∴半径．

∴圆的方程为．

（）解： ， 是圆的两条切线， ， 分别为切点，

∴≌，

∴，

是圆的切线，且为切点，

∴，

，

，

∴当斜边取最小值时， 也最小，即四边形的面积最小．

即为到的距离，

由（）知，

∴，

即∴，

∴，

∴四边形面积的最小值为．

（）解：依题，点坐标，

如图，取关于原点的对称点坐标，连接， ，

则为的中位线，

所以， ，

所以，要使最大，则应最大，

所以，如图，当点为的延长线与圆的交点时，

，

．

，

即的最大值为： ．