Question

已知函数f(x)=lnx+

a

x

．
（Ⅰ）当a＜0时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在[1，e]上的最小值是

3

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f(x)=lnx+

a

x

的导数，令导数大于0求函数的增区间，导数小于0求函数的减区间．
（Ⅱ）对a进行分类讨论，分别求出各种情况下的函数在[1，e]上的最小值令其为

3

2

解方程求得a的值

解答：解：函数f(x)=lnx+

a

x

的定义域为（0，+∞），（1分）
f′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

（3分）
（Ⅰ）∵a＜0，∴f'（x）＞0，
故函数在其定义域（0，+∞）上是单调递增的．（5分）
（Ⅱ）在[1，e]上，分如下情况讨论：
1⁰当a＜1时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，其最小值为f（1）=a＜1，这与函数在[1，e]上的最小值是

3

2

相矛盾；
2⁰当a=1时，函数f（x）在（1，e]单调递增，其最小值为f（1）=1，同样与最小值是

3

2

相矛盾；（7分）
3⁰当1＜a＜e时，函数f（x）在[1，a）上有f'（x）＜0，单调递减，
在（a，e]上有f'（x）＞0，单调递增，
所以，函数f（x）的最小值为f（a）=lna+1，由lna+1=

3

2

，得a=

e

．
4⁰当a=e时，函数f（x）在[1，e）上有f'（x）＜0，单调递减，
其最小值为f（e）=225，还与最小值是

3

2

相矛盾；
5⁰当a＞e时，显然函数f（x）在[1，e]上单调递减，其最小值为f(e)=1+

a

e

＞2，仍与最小值是

3

2

相矛盾；（12分）
综上所述，a的值为

e

．（13分）

点评：本题是导数的应用题，应用层数证明单调性，求单调区间，这是导数的一个重要运用．